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ひし形の対角線を計算する公式
ひし形は 4 つの辺が等しい四辺形、各線の中点で互いに垂直な 2 つの対角線を持つ四辺形、隣接する 2 つの辺が等しい平行四辺形です。正方形、長方形、三角形の他に、ひし形は数学や人生において重要な図形の 1 つです。
ひし形の周囲と面積を計算する公式の他に、ひし形の対角線（ひし形の反対側の頂点を結ぶ線）を計算する方法も非常に重要です。
以下の記事では、具体的な例を挙げてひし形の対角線を計算する方法を解説しているので、参考にしてください。
目次
菱形の対角線
- ひし形の対角線は、ひし形の 2 つの反対の頂点を結ぶ線です。
- ひし形には 2 つの対角線があり、それらはひし形の中心点で交差します。
- 対角線は、菱形を等しい辺を持つ 2 つの正三角形に分割します。
菱形の対角線の性質
ひし形の 2 つの対角線には次の特性があります。
- 2 つの等しい対角線: ひし形の 2 つの対角線の長さは等しいです。
- 2 つの対角線の間の角度は直角です。ひし形の 2 つの対角線はひし形の中心点で交差し、直角を形成します。
- 対角線は菱形の対称軸です。菱形の各対角線は菱形の対称軸であり、菱形を 2 つの対称的な半分に分割します。
- 対角線は 2 つの正三角形の対角線です。ひし形の各対角線は、等しい辺で形成される 2 つの正三角形の対角線です。
- 2 つの対角線の長さの積は、ひし形の 2 辺の長さの積に等しいです。: 2 つの対角線の長さの積は、ひし形の 2 辺の長さの積に等しいです。つまり、対角線を d、辺を a と b で表すと、d² = a² + b² となります。
これらの性質はひし形の特徴的な性質であり、ひし形を含む多くの幾何学の問題で使用されます。
ひし形の対角線を計算する公式
ひし形の対角線を計算する式を導くために、以下の例を検討してください。
辺が a で角度 ABC = 60 度のひし形 ABCD の対角線の長さを計算する必要があるとします -> この場合のひし形の対角線を計算する式は何ですか?
解決：
ABCDは菱形なので、すべての辺はaに等しいです。
三角形ABCを考えます。AB = BC = a
繰り返しますが、ABC = 60 度 => 三角形 ABC は、辺が a である正三角形です。
=> AB = AC = BC = a
=> ひし形の対角線の長さは、AC = BD = a です。
上記の解法は、ひし形の対角線を計算するための最も単純で理解しやすい公式の 1 つです。
面積と残りの対角線がわかっている場合にひし形の対角線を計算する公式
ひし形の面積を計算する公式から：
S = (axb) : 2
対角線の長さの公式は次のとおりです。
a = S × 2 : b
または
b = S × 2 : a
そこには：
- Sは面積
- aとbは2つの対角線の長さです
ピタゴラスの定理を使わずに、菱形の幾何学的特性を利用して対角線の長さを計算します。具体的には：
ひし形の対角線は 2 つの高さの平均です。
対角線 = (長辺 + 短辺)²の平方根
ひし形の対角線はひし形の周囲の半分です。
対角線 = 1/2 x 菱形の周囲の長さ。
ひし形の対角線を計算する問題
問題1：面積が360平方センチメートル、対角線の長さが24センチメートルのひし形が与えられます。 2番目の対角線の長さを計算します
解決：
ひし形の面積の公式によると：axb：2
2つ目の対角線は360×2：24＝30cmです
答え：30cm
問題2:
ひし形の面積は4dm、対角線の長さは3/5dmです。 2番目の対角線の長さを計算します。解決：
2 番目の対角線の長さは次のとおりです。
（4×2）：3/5＝40/3（dm）
レッスン 3:ひし形の 2 つの対角線の長さはそれぞれ 160 cm と 120 cm です。ひし形の高さと辺の長さの比率が 24:25 であることを考慮して、ひし形の高さを計算します。
解決：
菱形の面積は、160・120:2 = 9 600（cm2）です。
ひし形の高さと辺の長さの比は 24:25 なので、ひし形の高さは 24a、辺は 25a と見なすことができます。
すると、菱形の面積は次のようになります：25a.24a = 9 600 a2 = 16 a = 4 cm。
ひし形の高さは、24.4 = 96 (cm)です。
したがって、ひし形の高さは 96cm です。
レッスン4:
辺の長さが12.5cm、高さが6.72cmの菱形ABCDがあり、ACはBDより小さいです。対角線ACとBDの長さはそれぞれどれくらいですか?
賞：
菱形の面積を計算するには、次の式を適用します: S = ha = 6.72 x 12.5 = 84cm。
=> 1/2 AC x BD = 84 => 2AC.BD = 336
O を、ひし形の 2 つの対角線の交点とします。
AOBはOにおける直角三角形なので、AB2 = OA2 + OB2となります。
ここで、OA = 1/2 AC、OB = 1/2 BD
=> 12.52 = 1/4 (AC2 + BD2) <=> 625 = AC2 + BD2
AC2 + BD2 = 625 <=> AC2 + BD2+ 2AC.BD = 625 + 336 <=> (AC + BD)2 = 961 <=> AC + BD = 31 (1)
AC2 + BD2 = 625 <=> AC2 + BD2- AC.BD = 625 -336 <=> (BD - AC)2 = 289 <=> BD - AC = 17 （問題によれば、BD > AC）（2）
(1)と(2)から次のことがわかる。
BD = 24、AC = 7cm。
レッスン5:
菱形 ABCD の辺の長さは 10 単位です。ひし形の対角線の長さを計算します。
解答: ひし形 ABCD の対角線の長さは次のとおりです。
対角線 = 2(10²)の平方根 = 200の平方根 = 14.14単位の長さ。
したがって、菱形 ABCD の対角線の長さは 14.14 単位の長さになります。
レッスン6:
菱形 ABCD の対角線の長さは 12 です。ひし形の周囲の長さを計算します。
解答: ひし形は 4 つの辺が等しいので、その周囲の長さは 4 辺の長さの合計になります。つまり、次のようになります。
周囲 = 4 x 辺の長さ = 4 x 6 = 長さの 24 単位。
したがって、菱形 ABCD の周囲の長さは 24 単位です。
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