偶関数とは何ですか?奇関数とは何ですか?

偶関数とは何ですか？偶関数だけでなく奇関数も非常に興味深いです。これら 2 つの概念について一緒に学びましょう。

数学における関数は、軸に沿った対称性に基づいて偶関数と奇関数に分類できます。偶関数は、入力が否定されても一定のままである関数（出力は x と -x で同じ）であり、y 軸の周りの対称性を反映しています。一方、奇関数は入力が否定されると負になり、原点を中心に対称性を示します。関数 f は、f の定義域内のすべての x に対して f(-x) = f(x) のとき偶関数です。関数 f が奇関数と呼ばれるのは、f の定義域内のすべての x に対してf(-x) = -f(x) が成り立つ場合、つまり次の場合です。

• 偶数関数:f(-x) = f(x)
• 奇関数:f(-x) = -f(x)

この記事では、偶関数と奇関数、偶関数と奇関数の定義、三角法における偶関数と奇関数、偶関数と奇関数のグラフなど、知っておく必要のある多くの内容と情報について詳しく説明します。

目次

• 偶関数とは何ですか?
• 奇関数とは何ですか?
• 偶関数と奇関数のグラフ
• 偶数でも奇数でもない関数とは何ですか?
• 一般的な奇数偶数関数を覚えておく
• 偶関数と奇関数の決定方法
• 関数の偶奇性を調べる練習問題

偶関数とは何ですか?

定義域Dを持つ関数y = f (x)は、次の2つの条件を満たす場合、偶関数と呼ばれます。

• ∀ x ∈ D ⇒ − x ∈ D
• ∀ x ∈ D : f ( − x ) = f ( x )

たとえば、関数 y = x² は偶関数です。

奇関数とは何ですか?

定義域Dを持つ関数y = f (x)は、次の2つの条件を満たす場合、奇関数と呼ばれます。

• ∀ x ∈ D ⇒ − x ∈ D
• ∀ x ∈ D : f (−x)= − f(x)

例: 例: 関数 y = x は奇関数です。

注意。最初の条件は、0 に関する領域対称条件と呼ばれます。

たとえば、D = (-2;2) は 0 を中心に対称な集合ですが、D' = [-2;3] は 0 を中心に対称ではありません。

集合 R = (−∞;+∞) は対称集合である。

注: 関数は偶数または奇数である必要はありません。

たとえば、関数 y = 2x + 1 は、次の理由により偶関数でも奇関数でもありません。

x = 1のとき、f(1) = 2.1 + 1 = 3となる。

x = -1のとき、f(-1) = 2.(-1) + 1 = -1となる。

→ ２つの値f(1)とf(-1)は等しくもなく反対でもありません。

偶関数と奇関数のグラフ

関数にも、y 軸を対称軸とするグラフがあります。

奇関数は、原点 O を対称中心とするグラフを持ちます。

偶数でも奇数でもない関数とは何ですか?

すべての関数を偶関数または奇関数として定義できるわけではありません。 y=x²+x、y=tan(x-1) など、偶関数でも奇関数でもない関数もあります。

さらに、偶数と奇数の両方の性質を持つ特殊なタイプの関数もあります。例えば関数y=0

一般的な奇数偶数関数を覚えておく

偶数関数

y = ax2 + bx + c かつ b = 0 の場合のみ

二次関数

y = cosx

y = f(x)

奇関数

y = ax + b の場合のみ b = 0

y = ax3 + bx2 + cx + d かつ b = d = 0 の場合のみ

y = sinx; y = tanx; y = cotx

その他の事例

F(x) は偶関数であり、その定義域に微分がある場合、その微分は奇関数になります。

F(x) は奇関数であり、その定義域に微分がある場合、その微分は偶関数になります。

奇数次多項式関数は偶関数ではありません。

偶数次多項式関数は奇関数ではありません。

偶関数と奇関数の決定方法

奇数偶数関数を決定するには、次の手順を実行します。

ステップ1: ドメインを見つける: D

∀x ∈ D ⇒ -x ∈ D の場合、ステップ3へ進む

∃ x0 ∈ D ⇒ -x0 ∉ Dの場合、関数は偶数でも奇数でもありません。

ステップ2: xを-xに置き換えてf(-x)を計算する

ステップ3: 符号を調べる(f(x)とf(-x)を比較する):

° f(-x) = f(x) ならば関数 f は偶関数である

° f(-x) = -f(x) のとき関数 f は奇数である

° その他のケース: 関数fはパリティを持たない

関数の偶奇性を調べる練習問題

レッスン 4 ページ 39 代数 10 教科書: 次の関数の奇数と偶数の特性を考えてみましょう。

a) y = |x| ;

b）y = (x + 2)2;

y = x3 + x ;

d) y = x2 + x + 1 です。

賞

a) y = f(x) = |x| とします。

° TXĐ: D = Rなので、∀x∈ Dの場合、–x∈ Dとなります。

° f(–x) = |–x| = |x| = f(x) です。

→ したがって関数 y = |x|は偶関数です。

b) y = f(x) = (x + 2)2とします。

° TXĐ: D = Rなので、∀x∈ Dの場合、–x∈ Dとなります。

° f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 ≠ (x + 2)2 = f(x)

° f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 ≠ – (x + 2)2 = –f(x)。

→ したがって関数 y = (x + 2)2 は偶数でも奇数でもありません。

c) y = f(x) = x3 + x とします。

° TXĐ: D = Rなので、∀x∈ Dの場合、–x∈ Dとなります。

° f(–x) = (–x)3 + (–x) = –x3 – x = – (x3 + x) = –f(x)

→ つまり y = x3 + x は奇関数です。

d) y = f(x) = x2 + x + 1 とします。

° TXĐ: D = Rなので、∀x∈ Dの場合、–x∈ Dとなります。

° f(–x) = (–x)2 + (–x) + 1 = x2 – x + 1 ≠ x2 + x + 1 = f(x)

° f(–x) = (–x)2 + (–x) + 1 = x2 – x + 1 ≠ –(x2 + x + 1) = –f(x)

→ したがって関数 y = x2 + x + 1 は偶数でも奇数でもありません。

R で定義された関数の中に、偶関数と奇関数の両方であるものはありますか?

賞：

関数 y = 0 は R 上で定義された関数であり、偶関数と奇関数の両方であることが簡単にわかります。

関数 y = f (x) がこのような特性を持つ任意の関数であるとします。すると、R のすべての x に対して次のようになります。

F (–x) = f (x) （fは偶関数なので）

F (–x) = – f (x) （f は奇関数であるため）。

このことから、Rのあらゆるxに対して、f(x)=−f(x)、つまりf(x)=0であることが分かります。したがって、y=0 は R で定義される唯一の関数であり、偶関数と奇関数の両方です。

偶関数と奇関数に関するよくある質問

偶関数と奇関数とは何ですか?

定義域内のすべてのxに対してf(x) = f(−x)が成立する場合、偶関数はy軸を中心に対称になります。奇関数は原点を中心に対称であり、定義域内のすべてのxに対してf(−x) = −f(x)が成立することを意味します。

関数が偶数か奇数かを知るにはどうすればよいでしょうか?

関数は、f(-x) = f(x) のとき偶関数であり、f の定義域内のすべての要素に対して f(-x) = -f(x) のとき奇関数です。これらの特性のいずれも満たさない場合、それは奇数でも偶数でもありません。

奇数周期関数と偶数周期関数の違いは何ですか?

奇周期関数と偶周期関数の違い: 偶関数は定義域内のすべてのxに対してf(−x) = f(x)を満たしますが、奇関数はf(−x) = −f(x)を満たします。

偶関数と奇関数に加えて、平方数、無理数、有理数、素数、自然数など、その他の重要な数学の知識もQuantrimang.com の教育セクションで学ぶことができます。