切頂角錐の体積、側面積、総面積を求める式

以下の記事で、切頂角錐とは何か、切頂角錐の体積の計算方法、切頂角錐の側面積と総面積について学びましょう。

目次

フラスタムの定義

切頂角錐は、多面体の一部であり、底面と、角錐の底面に平行な平面で切断された断面との間に位置します。

切頂角錐の体積、側面積、総面積を求める式

  • 多角形 A1A2...An、B1B2...BnA1A2...An、B1B2...Bn と台形 A1A2B2B1、A2A3B3B2、...、AnA1B1BnA1A2B2B1、A2A3B3B2、...、AnA1B1Bn で構成される図形は切頂角錐と呼ばれ、A1A2...An.B1B2...Bn.A1A2...An.B1B2...Bn と表されます。
  • 簡単に言うと、ピラミッド S.B1B2...Bn.S.B1B2...Bn を切り取ったピラミッド S.A1A2...AnS.A1A2...An から切頂ピラミッドが形成されます。

+ 多角形A1A2...An,B1B2...BnA1A2...An,B1B2...Bnは2つの底辺と呼ばれ、

+ 台形 A1A2B2B1、A2A3B3B2、...、AnA1B1BnA1A2B2B1、A2A3B3B2、...、AnA1B1Bn は側面と呼ばれます。

+ 線分 A1B1、A2B2、...、AnBnA1B1、A2B2、...、AnBn はサイド エッジと呼ばれ、ベース サーフェスのエッジはベース エッジと呼ばれます。

+ 2 つの底面間の距離は、切頂角錐の高さと呼ばれます。

切頂角錐の特性:

  • 2 つの底辺は、対応する平行な辺と、対応する辺の等しい比率を持つ 2 つの多角形 (三角形、四角形、五角形など) です。
  • 側面はすべて台形です。
  • 横方向のエッジを含む線は、1 つの点 (ピラミッドの頂点) に収束します。
  • 切頂角錐は、底面が正多角形(等しい辺を持つ)である角錐です。したがって、円錐台の側面はすべて等しい台形になります。

切頂角錐の面積を計算する公式

切頂角錐の体積、側面積、総面積を求める式

切頂角錐の表面積

切頂角錐の側面積は、2つの底面積を除いた、切頂角錐を囲む部分、つまり周囲の面の面積です。

切頂角錐の側面積の計算方法:通常の台形の面積を計算する公式に従って、切頂角錐の各側面(台形)の面積を計算し、合計面積を計算します。

正三角形の面積を計算する公式:

切頂角錐の体積、側面積、総面積を求める式

そこには:

  • Sxq: 周辺地域
  • n: 切頂角錐の側面の数(底面の多角形の辺の数に等しい)
  • a, b: それぞれ上底と下底の辺の長さ
  • h: 四辺形の辺の高さ。

例1: 

底辺が10cmと15cm、側面の高さが12cmの正四角形の切頂角錐の側面積を計算します。

切頂角錐の体積、側面積、総面積を求める式

賞: 

正四角錐の側面は二等辺台形なので、1つの側面の面積は次のようになります。

正四角形の切頂角錐は 4 つの辺が等しいため、その側面積は次のようになります。

150 × 4 = 600 (cm2)

例 2:底辺が 6cm と 8cm、側面の高さが 5cm の正四角形の切頂角錐の側面積を計算します。底辺が6cmと8cmの正四角形の切頂角錐の側面積を計算します。

切頂角錐の体積、側面積、総面積を求める式

賞: 

正四角錐の側面は二等辺台形なので、1つの側面の面積は次のようになります。

正四角錐台は4つの辺が等しいので、その側面積は次の式に等しい。

35×4=140(cm2)

切頂ピラミッドの総表面積

切頂角錐の総面積は、側面積と2つの底面積の合計に等しくなります。

計算式:                    Stp = Sxq + 大きな底 + 小さな底

そこには:

  • Stp: 総面積
  • Sxq: 周辺エリア
  • 大きなベース:大きなベースエリア
  • 小さなベース:小さなベースエリア

例えば: 

図に示されている寸法に従って、正三角形の総面積を計算します。

切頂角錐の体積、側面積、総面積を求める式

賞:

我々は持っています:

AD = 12 ⇒ OJ = 6

II1 ⊥ OJを描くと、I1J = 3となる。

ピタゴラスの定理を直角三角形 II1J に適用すると次のようになります。

IJ2 = II12 + I1J2 = 92 + 32 = 90

したがって:

台形の1辺の面積は次のとおりです。

周囲の面積は次のようになります:

上底の面積は:S = 6 x 6 = 36(単位)

底面積はS = 12 x 12 = 144(単位)です。

切頂ピラミッドの総面積は次の式に等しくなります。

切頂角錐の体積を計算する公式

レシピ:

切頂角錐の体積、側面積、総面積を求める式

そこには:

  • V: 切頂角錐の体積
  • S、S' はそれぞれピラミッドの大きい底面積と小さい底面積です。
  • h: ピラミッドの高さ、つまり2つの大きな底面と小さな底面の間の距離

切頂角錐は正方形(正四角形)ですか?

切頂角錐の体積、側面積、総面積を求める式

そこには:

  • V: ボリューム
  • h: ピラミッドの高さ
  • a、bはそれぞれ大きい底辺と小さい底辺の辺の長さです。
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