回転体の体積を計算する公式と例

回転ブロックとは何ですか?回転体の体積を計算するにはどうすればいいですか?

回転体とは、回転円錐、回転円筒、回転球など、平面を固定軸の周りで回転させることで作られる形状です。以下に回転体の体積を求める公式を示しますので、参考にしてください。

目次

• Ox軸を中心に回転する円形ブロックの体積を計算する
• Oy軸を中心に回転する円形ブロックの体積を計算する
• 回転体の体積の計算例

Ox軸を中心に回転する円形ブロックの体積を計算する

円形ブロックが Ox 軸を中心に回転する場合、次の式を適用して回転する円形ブロックの体積を計算できます。

ケース 1 : 回転する円形ブロックの作成者:

• 線y=f(x)
• x軸 y=0
• x=a; x=b

体積を計算する式は次のようになります。

ケース 2 : 回転ブロックは次のように作成されます。

• 線y=f(x)
• 線y=g(x)
• x=a; x=b

回転体の体積を計算する式は次のようになります。

と

Oy軸を中心に回転する円形ブロックの体積を計算する

円形ブロックが Oy 軸を中心に回転する場合、次の式を適用して回転する円形ブロックの体積を計算できます。

ケース 1 : 回転ブロックは次のように作成されます。

• 線x=g(y)
• 縦軸（x=0）
• y=c; y=d

回転体の体積を計算する式は次のようになります。

ケース2：回転ブロックは次のように作成される。

• 直線 x=f(y)
• 方程式 x=g(y)
• y=c; y=d

回転体の体積は次のようになります。

と

回転体の体積を計算する公式のまとめ表:

1. Oxの周りを回転する領域Sによって生成されるVx：

レシピ：

2. Oxの周りを回転する領域Sによって生成されるVx：

レシピ：

回転体の体積の計算例

例1: 

曲線 y = sinx、x 軸、および 2 つの直線 x=0、x=π (図) によって制限される平面図形を Ox 軸の周りで回転させることによって得られる回転体の体積を計算します。

解決

上記の定理の式を適用すると、

例2: 

曲線とx軸に囲まれた平面図形をx軸の周りで回転させることによって得られる回転体の体積を計算します。

賞：

次のように表示されます。

したがって、すべての x について、これは、Ox 軸の上にある中心が O、半径が R = A の半円の方程式になります。 Ox 軸を中心に回転させると、平面形状は中心が O で半径が R = A の球体を形成します (図)。だから私たちはいつも

 

したがって、このタイプの問題では、積分式を書く必要はなく、球の体積を計算する式に基づいて結論を導き出すことができます。

例3: 

2 つの平面 x = 0 と x = 1 の間にある物体の体積を計算します。横座標が x(0≤x≤1) の点で Ox 軸に垂直な平面 (P) で切断された物体の断面は、2 つの辺の長さが x と ln(x2+1) である長方形になります。

賞： 

断面が長方形なので、断面積は次のようになります。

計算する体積は

例 4:線 y = 3x で囲まれた平面図形が与えられます。 y = x; x = 0; x = 1 は Ox 軸を中心に回転します。結果として得られる回転体の体積を計算します。

賞：

直線x = 1とy = xおよびy = 3xの交点の座標は、点C(1;1)と点B(3;1)です。直線y = 3xと直線y = xの交点の座標はO(0;0)です。

したがって、計算される回転固体の体積は次のようになります。

例 5 : y = 2x2 の線で囲まれた平面図形が与えられます。 y2 = 4x は Ox 軸を中心に回転します。結果として得られる回転体の体積を計算します。

賞：

同等の時制で。直線との交点の座標は、点O(0;0)と点A(1;2)です。

したがって、計算される回転固体の体積は次のようになります。

回転体の体積を計算する問題の場合は、それぞれのケースに正しい公式を使用し、限界を決定する際に注意を払うだけで、問題を解決できます。幸運を！