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完全平方数とは何ですか?見分け方と詳しい例
完全平方数は整数の平方に等しい数です。このタイプの数字をよりよく理解するために、以下の記事で平方数の特性、認識、計算について学びましょう。
目次
完全平方数とは何ですか?
完全平方数は、整数の正確な平方に等しい数です。あるいは簡単に言えば、完全平方数とは、その平方根も自然数である自然数です。
整数には、正の整数 (1、2、3、…)、負の整数 (-1、-2、-3、…)、0 が含まれます。整数の集合は Z で表されます。
ただし、平方数の平方根は自然数、つまり正の整数のみを持ちます。
例えば：
数字 2 の平方は 4 なので、数字 4 は完全な平方数です。
9 は完全な平方数です（9 は 3 の平方に等しいため）。
平方数の見分け方
1.最後の桁を見てください。完全平方数の最後の桁は 0、1、4、5、6、9 です。2、3、7、8 で終わる数字は完全平方数とは呼ばれません。
2. 最後の桁を見てください。完全な平方数は 4n または 4n + 1 の 2 つの形式のうち 1 つしか取り得ず、4n + 2 または 4n + 3 (n € N) の形式を取る完全な平方数はありません。
たとえば、n = 1 の場合、平方数は 4 x n = 4 の形式になります。または、n = 2 の場合、平方数は 4 x 2 + 1 = 9 の形式になります。
4 x 2 + 2 = 10 または 4 x 2 + 3 = 11 という形式にはなりません。
3. 完全平方数の十の位は、最後の桁が 1 または 9 の場合でも偶数になります。
例: 平方数 81 (9 の平方数)。
4. 5 で終わる完全平方数の十の位は 2 です。
例: 平方数 225 (15 の平方)。
5. 完全平方数が 4 で終わる場合、十の位は偶数になります。
例: 平方数 64 (8 の平方数)。
6. 平方数が 6 で終わる場合、十の位は奇数になります。
例: 平方数 16 (4 の平方数)。
7. 素数に因数分解すると、完全平方数には偶数指数の素因数のみが含まれます。
たとえば、平方数 16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 2 ^ 4 です。
平方数の割り切れる数
素数 p で割り切れる完全な平方数は p^2 でも割り切れ、その逆も同様です。
- 2 で割り切れる完全な平方数は 2^2 = 4 で割り切れます。
- 3 で割り切れる完全な平方数は 3^2 = 9 で割り切れます。
- 5 で割り切れる完全な平方数は 5^2 = 25 で割り切れます。
- 8 (= 2^3) で割り切れる完全な平方数は、2^4 = 16 (数の累乗として表される) でも割り切れます。
- 平方数36（6^2）は2で割り切れる => 36は4（2^2）で割り切れる
- 平方数 144 (12^2) は 3 で割り切れる (144:3=48) => 144 は 9 で割り切れる (144:9=16)
最小の平方数
完全平方数の集合の中で最小の完全平方数は 0 です。0 から 100 までの範囲の数値には、100 未満の完全平方数が 10 個あります。それらの数値には、0、1、4、9、16、25、36、49、64、81 が含まれます。
最大の平方数
- 1桁の平方数の中で最大の数は9です。
- 最大の2桁の平方数は81です。
- 3桁の平方数で最大のものは312です。
- 最大の4桁の平方数は9801です
- 最大の5桁の平方数は99856です
2つの平方数の差を計算するための同一の定数
例えば：
平方数の特性
- 2 つの平方数の差を計算する式: a^2 - b^2 = (ab)(a+b)。
- 平方数が素数で割り切れる場合は、その素数の平方数でも割り切れます。
たとえば、平方数 18 は 3 で割り切れるので、3 の平方数である 9 でも割り切れます。
平方数
平方数には 2 つの種類があります。
| 偶数平方数 | 奇数の平方数 |
| 完全な平方数は、偶数の整数の平方である場合にのみ偶数になります。 | 完全な平方数は、奇数の整数の平方である場合にのみ奇数になります。 |
| たとえば、数字 36 は数字 6 (偶数) の平方なので、偶数の平方数です。 | たとえば、25 という数字は、5 (奇数) の平方なので、偶数の平方数です。 |
完全平方数の例
4、9、16、25、36、49、64、81、100、… という数字はすべて完全な平方数です。
4 = 2² は偶数の平方数です。
9 = 3² は奇数の平方数です。
16 = 4² は偶数の平方数です。
25 = 5² は奇数の平方数です。
36 = 6² は偶数の平方数です。
49 = 7² は奇数の平方数です。
64 = 8² は偶数の平方数です。
81 = 9² は奇数の平方数です。
100 = 10² は偶数の平方数です。
注: 数字 0 と 1 も平方数です。
平方数の練習
レッスン 1 : 次の数列で、完全平方数はどれですか: 9、81、790、408、121、380、2502、441、560。
解答: 完全平方数は 9 (3²)、81 (9²)、121 (11²)、441 (21²) です。
レッスン 2: 数 1234567890 が完全な平方数ではないことを証明します。
解答: 数値 1234567890 は 5 で割り切れます (最後の桁が 0 であるため) が、25 では割り切れません (最後の 2 桁が 90 であるため)。したがって、1234567890 という数字は完全な平方数ではありません。
レッスン 3 : 数 B = 4n^4 + 4n³ + n² がすべての正の整数 n に対して完全な平方数であることを証明します。
解決：
B = 4n^4 + 4n³ + n²= n²(4n² + 4n + 1)= n²(2n + 1)²
B は 2 つの平方数の積として表すことができることがわかります。またはB = [n(2n+1)]²であり、n(2n + 1)は整数です。したがって、B は完全な平方数であるという結論になります。
レッスン4:
次の数が完全な平方数となる自然数 n を見つけます: B = n² + 4n + 1。
解決：
Bは完全な平方数なので、n² + 4n + 1 = b²とします。
= 4n²+16n+4=4b²
= (4n²+16n+16)-16+4=4b²
= (2n+4)²- 4b² = 12
= (2n+4+2b)x(2n+4-2b)=12
2n+4+2b 2n+4-2b であり、これらはすべて正の整数であることに注意してください。したがって、対応する数字のペアは (12, 1)、(6, 2)、(4, 3) です。 n と b を見つけるには、それぞれのケースを考慮する必要があります。具体的には：
- ケース1: (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 12 x 1 = n = 5/4、b = 11/4
- ケース2: (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 6 x 2 = n = 0, b = 1
- ケース3: (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 4 x 3 = n = -1/4、b = 1/4
しかし、n は自然数なので、n = 0、b = 1 という答えのみが適切です。そしてn = 0なので、平方数B = 1となります。
上記の記事が、完全平方数とは何か、0 は完全平方数であるかどうか、また完全平方数の特性と特徴を理解するのに役立つ情報を提供できたことを願っています。そこから、平方数に関する問題や課題を解決するための知識がさらに増えます。
数学では平方数に加えて帯分数や分数など他の種類の数についても学ぶことができます。
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