組み合わせ、順列、順列の公式

組み合わせと順列を計算する式は何ですか?この記事では、組み合わせやその他の関連する数式を計算する方法について説明します。

順列と組み合わせは、グループまたはセットから項目を選択することを伴う、数学における最も基本的な概念です。

• 順列とは、特定のグループから選択した順序で項目を並べることです。
• 組み合わせとは、順序に関係なく項目を選択することです。

目次

• 組み合わせ式
• 順列式
• 順列 

組み合わせ式

n 個の要素を持つ集合 A と整数 k (1 ≤ k ≤ n) が与えられます。 k 個の要素を持つ A の各サブセットは、A の n 個の要素の k 倍の組み合わせと呼ばれます。

nのK結合式

組み合わせのプロパティの式:

組合せ論の例

例1: 

12 人の学生のグループ。方法はいくつありますか？

a) グループの代表者2名を選ぶ

b) 2 名を選び、チームリーダーと副チームリーダーの役割を割り当てます。

c) グループを 2 つのグループに分け、グループ リーダーと副グループ リーダーは別のグループに所属します。

解決

a) 12 人のうち 2 人の組み合わせとなる 12 人の友達から 2 人を選びます。C122 = 66 通り。

b) 2 人を選び、12 通りのうち 2 通りを組み合わせる役割を割り当てます。A122 = 132 通り。

c) グループを 2 つのグループに分けます。各グループには 6 人のメンバーがいます。

チームリーダーと副チームリーダーが異なるグループに所属している場合。

残りの 10 人の友達から、チーム リーダーと同じグループになる 5 人の友達を選択します。C105 = 252 通り。

残りの5人の中から副リーダーと同じグループになる5人を選択します：C55 = 1つの方法。

つまり、252.1 = 252 通りの方法があります。

順列式

n 個の要素を持つ集合 A と整数 k (1 ≤ k ≤ n) が与えられます。 A の k 個の要素を順番に並べると、A の n 個の要素の k 倍の摂動が得られます (A の k 個の n 倍の摂動と呼ばれます)。

n 個の要素を持つ集合の k 順列の数は、次のとおりです。

順列式:

• いくつかの規則: 0! = 1、An0 = 1、Ann = n!
• 特性: これは順序付きソートであり、ソートする要素の数は k: 0 ≤ k ≤ n です。

例えば： 

0から9までの数字から、次のような自然数を形成する方法はいくつありますか。

a) 6桁の異なる数字

b) 6つの異なる数字を持ち、10で割り切れる数

c) 奇数は 6 つの異なる数字を持ちます。

解決

a) 6桁の異なる数字を作る

1から9までの数字から最初の数字を選択してください。選択方法は9通りあります。

残りの数字は、最初の数字を除く残りの9つの数字の5番目の順列であり、A95である。

つまり、9A95 = 136080 個の数字が存在します。

b) 6つの異なる数字を持ち、10で割り切れる数

単位の数字を選択してください: 数字 0 を選択する方法は 1 つあります

残りの数字を、A95で残りの9つの数字（数字0以外）の5番目の順列として選択します。

つまり、A95 = 15120 個の数字が存在します。

c) 0 から 9 までの数字から構成される 6 つの異なる数字を持つ奇数とします。

奇数なので、f ∈{1; 3; 5; 7; 9}

fを選択: 5つの選択方法があります

数字から選択します{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}\{f}: 選択方法は8通りあります

残りの8桁（fとaを除く）の4元複素数としてb、c、d、eを選ぶと、A84が得られる。

つまり、5.8A84 = 67200 個の数字が存在します。

順列

a) 定義:

- n 個の要素 (n ≥ 1) の集合 A が与えられる。

集合 A の n 個の要素を順序付けた各結果は、n 個の要素の順列と呼ばれます。

- 注: n 個の要素の 2 つの順列は、配置順序のみが異なります。

b) 順列の数:

- 記号 Pn は、n 個の要素の順列の数を表します。

順列式:

Pn = n(n – 1)…2.1 = n!

コンベンション: 0! = 1; 1！ = 1.

例: 男の子 5 人、女の子 5 人を含む 10 人をベンチに並べます。次のように配置する方法は何通りありますか?

a) 任意の

b) 少年たちは隣同士に座る

c) 男の子と女の子が交互に座ります。

解決

a) 10 人をベンチに並べる順列の数は、10:10 です。

b) 男の子たちを隣同士に座らせます。 5 人の男の子を「バンドル」に入れました。5 人です! 「バンドル」内の配置方法

次に、5 人の女の子をまとめてベンチに並べます。6 人です。配置方法

つまり5つあります！ 。 6個！ = 男の子たちを隣同士に座らせる 86400 通りの配置方法。

c) 10 人が 1 から 10 までの番号が付けられたベンチに座っているとします。

男の子と女の子を交互に

+ ケース1: 男の子は奇数位置に座り、女の子は偶数位置に座る

男の子の並び方は5通り！

女の子の並び方は5種類！

つまり5つあります！ 。 5つ！配置方法

+ ケース2: 男の子は偶数位置に座り、女の子は奇数位置に座る

上記のケースと同様に、5 があります。 。 5つ！配置方法

つまり2.5です! 。 5つ！ = 28800通りの並べ方。

順列と組み合わせの違い

順列と組み合わせの違いは、次の表から理解できます。

他の数式について詳しく知るには、Quantrimang.com の教育と学習セクションをご覧ください。